I funzionali sono degli oggetti matematici di fondamentale importanza per la descrizione della realtà .
Un funzionale è una funzione che associa ad una funzione un numero reale o complesso:
$ F[\phi] :$ $\textrm{ spazio di funzioni}\rightarrow C \textrm{ o } R$
Ad esempio un integrale sull'asse reale è un funzionale che associa ad ogni funzione (reale o complessa) integrabile un certo numero reale o complesso.
È possibile definire una derivata funzionale: $\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi (x)}$ che quantifica come varia il valore del funzionale $F$ quando viene amplificato il valore della funzione $\phi$ nei pressi di $x$.
Le proprietà della derivata funzionale sono:
- Linearità : $\frac{\delta}{\delta \phi (x)} (\alpha F_1[\phi]+ \beta F_2[\phi]) = \alpha \frac{\delta F_1[\phi]}{\delta \phi (x)} + \beta \frac{\delta F_2[\phi]}{\delta \phi (x)} $
- Chain rule: $\frac{\delta}{\delta \phi (x)} (F_1 [\phi] F_2[\phi] = F_1[\phi] \frac{\delta F_2[\phi]}{\delta \phi (x)} +F_1[\phi] \frac{\delta F_1[\phi]}{\delta \phi (x)} $
- Caratterizzati da: $\frac{\delta\phi (y)}{\delta \phi (x)}= \delta (y-x)$
Dove $\delta(y-x)$ è una delta di Dirac.
I funzionali e le derivate funzionali ricoprono un ruolo fondamentale in fisica, nei principi variazionali: come il Principio Variazionale di Hamilton, che descrive la meccanica classica utilizzando funzionali, ma anche in teoria dei campi (classica e quantistica), in cui vengono utilizzati per ricavare Lagrangiane e Hamiltoniane utili per svolgere i calcoli della teoria.