verrà dimostrata solo una uguaglianza visto che il procedimento per le altre è analogo
$ \frac{a}{sin (\alpha)} = \frac{b}{sin (\beta)} = \frac{c}{sin (\gamma)} $
$(B-C) = (B-A) + (A-C) $
$(B-C)$x$(A-C) = [(B-A) + (A-C)$x$(A-C)$
$(B-C)$x$(A-C) = (B-A)$x$(A-C) + (A-C)$x$(A-C)$
$(A-C)$x$(A-C) = 0$ questo perchè il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso è uguale a 0, deriva dal fatto che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è uguale a 0.
così facendo ricaviamo
$ab sin (\gamma) = cb sin (\alpha) $
si semplifica il b da entrambi i lati
$a sin (\gamma) = c sin (\alpha) $
sistemiamo e otteniamo
$ \frac{a}{sin (\alpha)} = \frac{c}{sin (\gamma)} $