$B-A = (B-A) + (A-C) $
eleviamo al quadrato
$(B-C)^2 = [ (B-A) + (A-C)]^2$
visto che $(B-C)^2 = (B-C)$x$(B-C) = a^2$
allora $a^2 = (B-A)^2 + (A-C)^2 + 2[(B-A)$x$(A-C)]$
per definizione di prodotto scalare:
$[(B-A)$x$(A-C)] = cb cos( x )$
sostituendo
$a^2 = c^2 + b^2 + 2cb cos(\pi - \alpha )$
visto che $cos(\pi - \alpha ) = - cos(\alpha )$
allora
$a^2 = c^2 + b^2 - 2cb cos(\alpha )$
questo dimostra che avendo due lati e un angolo possiamo calcolare il lato rimanente