LE BASI DELLA CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

 La cinematica è lo studio del moto prescindendo dalle cause che lo hanno generato ( le cause che generano il moto sono le forze )

Il punto materiale lo si può considerare come un'astrazione matematica da prendere come concetto primitivo, nel momento in cui siamo interessati ad osservare il moto di un oggetto su distanze molto maggiori delle sue dimensioni. Questa approssimazione non va bene se si vuole fare uno studio più approfondito. 

Cinematica del punto materiale

$P-O = P(t)-O$ è l'equazione vettoriale del moto in $P$

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$    sono le equazioni cartesiane del moto

come funzione del tempo dell'ascissa curvilinea $s$: 

$P(s(t))$

$\begin{cases} P-O = P(s)-O  \\ s = s(t)  \end{cases}$ passando attraverso l'ascissa curvilinea si riesce a separare l'aspetto geometrico del problema dall'aspetto cinematico

$\begin{cases} x = x(s) \\ y = y(s) \\ z = z(s) \\ s = s(t) \end{cases}$

Definizione di velocità

velocità scalare di P $\rightarrow \dot{s} := \frac{ds}{dt} $

velocità vettoriale di P $\rightarrow \bar{v(t)}= \frac{d(P-O)}{dt} =  \frac{dP(t)}{dt} = \lim_{h\to 0} \frac{P(t+h)-P(t)}{h} =0 $

In forma intrinseca il vettore velocità è $\bar{v(t)}=  \frac{dP(s(t))}{dt} =  \frac{dP(s(t))}{ds}  \frac{ds(t)}{dt} = \dot{s}\bar{t} $ dove $\bar{t}$ è il versore tangente alla traiettoria nel punto P

In forma cartesiana il vettore velocità è $ \bar{v(t)}= \frac{d(P-O)}{dt} =  \frac{dP(t)}{dt} = \dot{x}\bar{i} + \dot{y}\bar{j} + \dot{z}\bar{k} $

e velocità scalare con segno ( modulo con segno di $\bar{v(t)}$ )   $\dot{s} = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$

Definizione di accelerazione

$\bar{a(t)} = \frac{\bar{v(t)}}{t} = \lim_{h\to 0} \frac{\bar{v(t+h)}-\bar{v(t)}}{h} = \frac{d^2P}{dt^2} $

in forma intrinseca $\bar{a(t)} = \frac{d\dot{s}\bar{t}}{dt} = \frac{d\dot{s}}{dt}\bar{t} + \frac{d\bar{t}}{dt}\dot{s} = \ddot{s}\bar{t} + \dot{s}\frac{d\bar{t}}{ds}\frac{ds}{dt} = $ 

si sostituisce $ \frac{1}{\rho_c}\bar{n} = \frac{d\bar{t}}{ds} $ e $\dot{s} = \frac{ds}{dt}$ e si ha

$ \bar{a(t)}= \ddot{s}\bar{t} + \frac{\dot{s}^2}{\rho_c}\bar{n}$

$ \ddot{s}\bar{t} $ è chiamata accelerazione tangenziale $\bar{a_t}$

$\frac{\dot{s}^2}{\rho_c}\bar{n}$ è chiamata accelerazione centripeta o normale $\bar{a_n}$

La forma cartesiana dell'accelerazione è $\bar{a(t)} = \ddot{x}\bar{i} + \ddot{y}\bar{j} + \ddot{z}\bar{k} $

La classificazione dei moti di un punto materiale

La classificazione dei moti di un punto materiale può avvenire: 

1) sulla base di velocità e accelerazione:

• MOTO DIRETTO: la velocità scalare del punto P è maggiore di 0                                                        $\dot{s} > 0 $
• MOTO RETROGRADO: la velocità scalare del punto P è minore di 0                                                $\dot{s} < 0 $
• MOTO UNIFORME: la velocità scalare del punto P è costante nel tempo                         $\dot{s} = costante $
• MOTO RETTILINEO:                                                                                                       $\bar{t}(t) = \bar{t_0}          (costante) $
• MOTO RETTILINEO UNIFORME: la velocità vettoriale è costante                                      $\frac{ds}{dt}\bar{t} = \dot{s} \bar{t}= \bar{v_0} $

2) in base alla legge oraria:

• MOTO UNIFORME 

$s(t) = v_{0}t + s_{0} $

$ \frac{d^2s}{dt^2} = 0 $

• MOTO UNIFORMEMENTE VARIO 

$s(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_{0}t + s_0        
    con $a, v_0, s_0$ costanti

$ \frac{d^2s}{dt^2} = a $

• MOTO OSCILLATORIO ARMONICO

$s(t) = c\cos(\omega t + \gamma) $

dove $c$ è l'ampiezza, $\omega$ è la pulsazione, $\gamma$ è la fase iniziale

• MOTO PERIODICO se $\exists T > 0 $:

se $( t + T ) = s(t)    \forall t $

$ T $ è il periodo minimo per cui vale la condizione sopra scritta

equazione differenziale: $ \frac{d^2s}{dt^2} = - \omega^2 s(t) $

• MOTO OSCILLATORIO SMORZATO

$s(t) = ce^{-pt}\cos(\omega t + \gamma) $

con $p>0 e p^2 >\omega^2 $

eq.differenziale: $ \frac{d^2s}{dt^2} + 2p \frac{ds}{dt} + \omega^2s = 0

$

• MOTO APERIODICO SMORZATO

$s(t) = c_{1}e^{-\beta_{1}t} + c_{2}e^{-\beta_{2}t}

con $\beta_{1}, \beta_{2}>0 e p^2 >\omega^2 $

eq. differenziale: $ \frac{d^2s}{dt^2} + 2p \frac{ds}{dt} + \omega^2s = 0 $

• MOTO PERIODICO CON SMORZAMENTO CRITICO

$s(t) = (c_1 + c_2)e^{-pt} $

$p>0$ e $\lim_{x\to 0} s(t) =0 $

eq. differenziale: $ \frac{d^2s}{dt^2} + 2p \frac{ds}{dt} + \omega^2s = 0 $